第一章 线性空间与线性变换

第一节 线性空间的定义

定义：设V是非空集合，F是实数（R）或复数（C）域，在V及F上定义了两种运算：

    加法：对任意α,β∈V，在V中有唯一的元素与之对应，记这个元素为α+β，称为α,β的和。

    数乘：对任意α∈V，k∈F，在V中有唯一的元素与之对应，记这个元素为kα，称为k与α的积。

    如果满足下述公理，则称V是数域F上的线性空间，V中的元素称为向量。

    1. 对任意α,β∈V，α+β＝β+α

    2. 对任意α,β,γ∈V，(α+β)+γ=α+(β+γ)

    3. 存在元θ∈V，使得对任意α∈V，α+θ=α

    4. 对任意α∈V，存在β∈V，使α+β=θ

    5. 对任意α∈V，1α=α

    6. 对任意α∈V，k,l∈F,k(lα)=(kl)α

    7. 对任意α∈V，k,l∈F,(k+l)α=kα+lα

    8. 对任意α,β∈V，k∈F,k(α+β)=kα+kβ

线性空间的性质：

    假设V是数域F上的线性空间，则：

    1. V中的另向量是惟一的。

    2. 对任意α∈V，α的负元素是惟一的，记为-α。

    3. 加法消去律，若α+β=α+γ,则β＝γ.

    4. 对任意α,β∈V,向量方程α+x=β有惟一解，记为x=β-α。

    5. (-k)α=-(kα)，特别地(-1)α=-α。

    6. kα=0等价为k=0或α=0.

第二节 基、维数和坐标

    在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、向量组的极大线性无关组、秩等概念。

    一些重要结论：

    1. 若s>=2，则α1,α2,...,αs线性相关等价为存在j，使αj可由其余s-1个向量线性表示。

    2. 若α1,α2,...,αs线性无关，但β,α1,α2,...,αs线性相关，则β可由α1,α2,...,αs线性表示，且线性表示的方法是惟一的。

    3. 若t>s，β1,β2,...,βt可由α1,α2,...,αs线性表示，则β1,β2,...,βt线性相关。

    推论1：若β1,β2,...,βt可由α1,α2,...,αs线性表示，且β1,β2,...,βt线性无关，则t<=s。

    推论2：若β1,β2,...,βt与α1,α2,...,αs等价，且均线性无关，则s=t。