定义（过渡矩阵）
设α1,α2,...,αn及β1,β2,...,βn都是V的基，且(β1,β2,...,βn)=(α1,α2,...,αn)A.则称A是从基α1,α2,...,αn到基β1,β2,...,βn的过渡矩阵。
性质：1.若从基α1,α2,...,αn到基β1,β2,...,βn的过渡矩阵是A,则从基β1,β2,...,βn到基α1,α2,...,αn的过渡矩阵是A的逆矩阵。
2. 若从基α1,α2,...,αn到基β1,β2,...,βn的过渡矩阵是A,从基β1,β2,...,βn到基γ1,γ2,...,γn的过渡矩阵是B，则从α1,α2,...,αn到基γ1,γ2,...,γn的过渡矩阵是AB。
定理（坐标变换公式）
设η∈V,在基α1,α2,...,αn下的坐标是X，在基β1,β2,...,βn下的坐标是Y，而从从基α1,α2,...,αn到基β1,β2,...,βn的过渡矩阵是A，则X=AY,或Y=A(-1)X.
第三节 子空间 交与和
定义：
设V是数域F上的线性空间，W是V的非空子集，若W关于V的运算也构成F上的线性空间，则称W是V的子空间，记W≤V。
定理：
设W属于V，则W是V的子空间的充要条件是W关于线性运算封闭。
两类重要的子空间：
1. 设A∈Fsxn,V={η∈Fn|Aη=0},称V是齐次线性方程组Ax=0的解空间。
2. 设V是F上的线性空间，α1,α2,...,αs∈V,集合W={∑kjαj|kj∈F},称W是由α1,α2,...,αs生成的子空间，α1,α2,...,αs是其生成元，记W=L(α1,α2,...,αs).
命题：
1. 若W=L(α1,α2,...,αs)，则对任意αj∈W;
2. L(α1,α2,...,αs)=L(β1,β2,...,βt)的充要条件是α1,α2,...,αs与β1,β2,...,βt等价；
3. α1,α2,...,αs的极大线性无关组是L(α1,α2,...,αs)的基，故dimL(α1,α2,...,αs)=r(α1,α2,...,αs).
