子空间的交与和

  假设V1,V2≤V,定义：

  V1∩V2={η∈V|η∈V1且η∈V2};

  V1+V2={η∈V|存在η1∈V1,η2∈V2使得：η=η1+η2}.

定理：V1∩V2,V1+V2是V的子空间。

命题：若V1=L(α1,α2,...,αs),V2=L(β1,β2,...,βt),则：

    V1+V2=L(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt).

维数定理：

    假设V1,V2≤V，有dim(V1+V2)=dimV1+dimV2-dim(V1∩V2).

直和

    定义：设V1,V2≤V，若对任意η∈V1+V2,存在惟一的η1∈V1,η2∈V2，使得：

    η=η1+η2,则称V1+V2是直和，记为V1⊕V2.

    定理：设V1,V2≤V,则下述条件是等价的。

      1. V1+V2直和；

      2. θ的表示方式是惟一的；

    3. V1∩V2={θ};

    4. dim(V1+V2)=dimV1+dimV2;

      5. 将V1,V2的基合在一起就是V1+V2的基。