第四节 线性映射
定义：设有映射f:S→T,若x∈S,y∈f(x),则称y为x在f下的像，x为y在f下的原像。
定义：假设映射f:S→T,若f(S)={y∈T|存在x∈S,使得y=f(x)}，则称f是满射；若由“f(a)=f(b)”必能推得“a=b”,则称f是单射；若f既是满射，又是单射，则称f是双射。
定理：f:S→T是双射的充要条件是f是可逆映射。
定义：设V,U均是数域F上的线性空间，若映射f:V→U满足条件：
（1）对任意x∈V,k∈F,f(kx)=kf(x);
(2)对任意x,y∈V,f(x+y)=f(x)+f(y).
则称f是从V到U的线性映射。其全体记为Hom(V,U)。V到自身的线性映射称为V上的线性变换。
线性映射的性质：
假设f:V→U是线性映射，则：
(1) f(θ)=θ;
(2) 若α1,α2,...,αs∈V,k1,k2,...,ks∈F,则f(∑kiαi)=∑kif(αi);
(3) 若α1,α2,...,αs线性相关，则f(α1),f(α2),...,f(αs)∈U线性相关;
(4) 若V=L(α1,α2,...,αs),则f的值域f(V)=L(f(α1),f(α2),...,f(αs));
(5) f-1(θ)={x∈V|f(x)= θ}是V的子空间，称为f的核子空间。
线性变换的运算：
数乘：kf
加法：f+g
复合运算：fg
线性变换的运算的性质：
假设f,g,h∈Hom(V,U),则：
(1) (fg)h=f(gh);
(2) f(g+h)=fg+fh;
(3) (f+g)h=fh+gh.
线性映射（变换）的矩阵：
设f∈Hom(V,U),选定基偶V:α1,α2,...,αs,U:β1,β2,...,βn,
若(f(α1),f(α2),...,f(αs))=(β1,β2,...,βn)A,则称A是f在选定基偶下的矩阵。如：U=V,且(f(α1),f(α2),...,f(αs))=(α1,α2,...,αs)A,则称A是线性变换f在所选基下的矩阵。
定理：若f∈Hom(V,U),在基偶V:α1,α2,...,αs,U:β1,β2,...,βn下的矩阵是A，η∈V在α1,α2,...,αs下的坐标是X，则f(η)在基β1,β2,...,βn下的坐标是AX。
定理：设f∈Hom(V,U)在选定基偶V:α1,α2,...,αs,U:β1,β2,...,βn下的矩阵是A，则f在新的基偶(α1',α2',...,αs')=(α1,α2,...,αs)P,(β1',β2',...,βn')=(β1,β2,...,βn)Q下的矩阵是B=Q-1AP.
特别：f∈Hom(V,V)在基α1,α2,...,αs下的矩阵是A，则f在新的基(α1',α2',...,αs')=(α1,α2,...,αs)P下的矩阵是B=P-1AP.
定理：假设f∈Hom(V,U),在V的基α1,α2,...,αs下的矩阵是A,B,设k∈F,则在基α1,α2,...,αs下，
(1) kf的矩阵是kA;
(2) f+g的矩阵是A+B;
(3) fg的矩阵是AB;
(4) f可逆等价于矩阵A可逆，且f-1的矩阵是A-1.
