第五节 线性映射的值域及核子空间

  假设f∈Hom(V,U)，f的值域f(V)及核子空间f-1(θ)常被记为R(f)和K(f).

定理：假设f∈Hom(V,U)，则：

    f是满射等价于R(f)=U; f是单射等价于K(f)={θ}.

值域的计算

  若f∈Hom(V,U)在基偶V:α1,α2,...,αs,U:β1,β2,...,βn下的矩阵是A，即(f(α1),f(α2),...,f(αs))=(β1,β2,...,βn)A，于是

f(V)=L(f(α1),f(α2),...,f(αs)),从而dimR(f)=r(A).

核子空间的计算

若f∈Hom(V,U)在基偶V:α1,α2,...,αs,U:β1,β2,...,βn下的矩阵是A，η∈V在α1,α2,...,αs下的坐标是X，则f(η)在基β1,β2,...,βn下的坐标是AX.因此，η∈K(f)等价于Ax=0.从而，若x1,x2,…,xs-r是Ax=0的基础解系，ηj是以xj为坐标的V中的向量，则η1,η2,…,ηs-r是K(f)的基.特别：dimK(f)=s-r(A).

定理：假设f∈Hom(V,U)，则：dimR(f)+ dimK(f)=dimV.

  推论：设dimV<∞, f∈Hom(V,U),则f可逆等价于f是单射等价于f是满射.

定义（不变子空间）

  设f∈Hom(V,U)，W≤V，若对任意η∈W，有f(η)∈W,则称W是f的不变子空间.如R(f),K(f)均是f的不变子空间.