第一章 场论分析

1.1 标量场

  一.标量场                  

    1.定义：空间某一区域内存在一标量函数u，它的值随空间的位置而定，同时可能是时间的函数：u=u（x.y.z;t）

    例如：温度场，势场

    2.等值面：标量场中量值相等的点构成的面，称为等值面。例如：等温面，等势面。

 二.方向性导数，梯度

    对于一个标量场除了了解标量场u的总体分布情况，还要讨论其等值面随空间的变化。

    1.方向性导数：等值面沿某一给定方向l0的变化率，称为该标量场沿l0方向的方向性导数。

    2.梯度：标量场中M0点的梯度是一个矢量：

           大小：该点的最大方向性导数，即沿过该点等值面的法线方向的方向性导数。

           方向：过M0点等值面的法线方向，规定沿等值面增加的方向为正法线。   

    3.梯度与方向性导数的关系

     标量场沿l方向的方向性导数=梯度在该方向的投影（点乘）（不明白为什么标量n的差值与L的差值的乘积等于他们的夹角的余弦值）

    4.梯度的计算（直角坐标系中）

     直角坐标系中，由方向性导数与梯度的关系可得标量场u沿三个坐标轴的方向导数。

     其中∇----哈密尔顿算子，这是一个矢量微分算子

    5.梯度的性质

       梯度的线积分与路径无关（∮∇u*dl=0）

       ∫∇u*dl该积分与路径无关的条件是被积分函数可以表示为某一函数的全积分。