1.2 矢量场

一.散度.高斯定理.

  1.矢量场的定义：设空间某一区域存在一矢量函数，它的大小及方向随空间位置变化（可能还是时间的函数）。

    则称该区域存在一矢量场：A=A（x,y,z;t）

    例如：速度场，电场，磁场。

    为形象的描述矢量场，通常在矢量场中作一些曲线。使曲线上每一点的切线方向与该点相应的场矢量方向一致。该点附近曲线的疏密和该店矢量的大小成正比，这样的曲线族称为矢量场的“力线”和“场线”。我们可以通过“力线”形象的描述和分析矢量场的分布和性质。

  2.通量：

    在讨论矢量场的通量之前，介绍有向面积元

    规定该面积元的正法线为n，有向面积元：△s=△s.n

    对于封闭曲面，约定其外法线为正法线方向

   通量的定义：

   矢量场分布所在的区域中任一点P,在P点附近取一面积元ds。其正法线n。该点的矢量场为A。

   定义：矢量场A穿过面积元ds的通量为：

   dΦ=A.ds=A.nds=A_nds

   矢量场穿过一有限大面积的通量：

   Φ=∫A.ds  

   3.矢量场的散度：

   设想有一包围P点的闭曲面，逐渐缩小到P点附近，则闭曲面所包围的体积△V逐渐减少，且矢量场A穿过闭曲面

   的通量∮A*ds也逐渐减少。但是在一般情况下，两者之比有一极值。该极值与闭合曲面的形状无关。

   定义：矢量场A的散度等于该极值。

   意义：矢量场A穿过包围单位体积的闭合面的通量，又称通量密度。