方向导数与梯度

偏导数反应的是函数沿坐标轴的变化率，但要确定函数沿某一方向的变化率就要引入方向导数。

设三元函数f在点P0（x0，y0，z0）的某邻域内有定义，l为从点P0出发的射线，P（x，y，z）为l上且含于邻域内的任一点，以ρ表示P和P0两点间的距离。若极限
lim（ (f(P)-f(P0)) / ρ ）= lim （△l f / ρ）（当ρ→0时）
存在，则称此极限为函数f在点P0沿方向l的方向导数
方向导数（l，Po）=（f(Po)在x的偏导）×cosα+(在y的偏导)×cosβ+(f(P0)在z的偏导)*cosγ
其中cosα，cosβ，cosγ是方向l的方向余弦
当函数在P可微，则方向导数存在，若方向导数存在，不一定可微。以锥面为例，在此不做详谈。

在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量
(δf/x)*i+(δf/y)*j
这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)
类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]

梯度是一个向量，当某一函数在某点处沿着该方向的方向导数取得该点处的最大值，即函数在该点处沿方向变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

反之则是函数减少最快的方向，当梯度与L方向的方向向量垂直时，变化率为0. 
有了梯度的概念，则方向导数等于梯度（偏导数组成的向量）乘以沿L方向的单位向量。