复合函数微分法

　　设函数
　　　　　　　　　　　　 与 　　　　　　　　　　　　　　
　　
一　复合函数的求导法则
　　定理17.5　若函数 在点 可微， 在点 可微，则复合函数 在点 可微，且它关于 与 的偏导数分别为
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　
　　证　由假设 ， 在点 可微，于是
　 　
其中当 趋于零时， 都趋向于零．又由 在点 可微，所以
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
其中当 时， （我们补充 之定义使当 时， ）将 代入 ，得
　　　　　　　　
整理后
　　　　　 　　　　
其中
　　　　　　　 　　　　　　　
由于 在点 可微，因此它们在点 都连续，即当 时，有 .从而也有 ，以及 于是在 式中，当 ，有 。故由 式推得复合函数 可微并求得 关于 和 的偏导数 ．
　　这里公式 也称为链式法则．
　　注意　如果只是求复合函数 关于 .或 的偏导数，则定理17.5中 和 只须具有关于 .或 的偏导数就够了。因为以 或 除 式两边，然后让 或 ，也能得到相应的结果。但是对外函数 的可微性假设是不能省略的，否则上述复合函数求导公式不一定成立．如函数
　　　　　　　　
由§1习题6知 ，但 在 不可微，若以 为外函数， 为内函数，则得以 为自变量的复合函数
　　　　　　　　　　
所以 。这时若用链式法则，将得出错误结果：
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
这个例子说明在使用复合函数求导公式时，必须注意外函数 可微这一重要条件．
　　一般地，若 在点 可微， 在点 具有关于 的偏导数，则复合函数
　　　　　　
关于自变量 的偏导数是
　　　　　　　　　　　
　　多元函数的复合函数求导一般比较复杂，我们必须特别注意复合函数中哪些是自变量，哪些是中间量．只有这样才能正确使用链式法则（4）求出结果．
　　例1　设 ，而 求
　　解　所讨论的复合函数以 为自变量， 为中间变量，由于
　

根据公式（4）得到



　□
　　例2　设 可微，在极坐标变换 下，证明
　　
证　 可以看作 的复合函数 ，因此
　　　　　　　　
　　　　　　　
于是
　　　　　　　
　　例3　设 ，其中 ，求
　　解　这里把 看作中间变量，复合后仅是自变量 的一元函数。于是
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　注意　上面第一个等式中，左边的 是作为一元函数的复合函数对 求导数，右边最后一项里的 是外函数（作为 的三元函数）对 求偏导数，二者所用符号各自有别．
　　例4　用多元复合微分法计算下列一元函数的导数：
　　 　　　　　　　　
　　解　 令 则有
　　　　　　　　　
　　　　 令 则有
　　　　　　　
　　　　　　　= 　□
由此可见，以前用“对数求导法”求一元函数的导数问题，如今也可用多元函数链式法则来计算.
　　
二　复合函数的全微分
　　若以 和 为自变量的函数 可微，则其全微分为
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
如果 作为中间变量又是自变量 的可微函数
　　　　　　　　　　　　　
则由定理17.5知道，复合函数 是可微的，其全微分为
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　 　　　　　　　　（12）
由于 又是 的可微函数，因此同时有
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　
将（13）式代入（12）式，得到与（11）式完全相同的结果.这就是关于多元函数的一阶（全）微分形式不变性.
　　必须指出，在（11）式中当作 为自变量时， 和 各自独立取值；当 作为中间变量时， 和 如（13）式所示，它们的值由 所确定．
　　利用微分形式不变性，能更有条理地计算复杂函数的全微分.
　　例5　设 ，利用微分形式不变性求 ，并由此导出 与 ．
　　解　令 .由于
　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
因此
　　　　　　　
　　　　　　　　　　
并由此得到