4、二元函数的极值、最值
10极值定义 P208
为极大值
为极小值

驻点 极值点，需判别
设 、 、

f
< 0 A < 0 极大值
A > 0 极小值
> 0 非极值
=0 不定


例1、 求 的极值
解： ， ， ，
，
令
得驻点 ，
在 ，
∴ 非极值
，
∴ 为 极值点
又 ∴ 为极小值


例2、求 在闭区域D： ， ，
的最大，最小值。
解： ，
令 （在D内）
在D的内部函数只有一个驻点 ，
在边界 ， 在 ，
在 ，
得： ，即 ， 为驻点
比较 ， ，
得最大值 ，最小值
在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。




例3、 求原点到曲线 的最大距离
此题即在条件 下求 的最小值问题








20条件极值、拉格朗日乘数法
在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别


求在条件 下, 的极值
令 称 为目标函数, 为拉格朗日常数
解得的 为可能的极值点



例1、求曲面 到平面 的最短距离
解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平面的距离
∴ 设

∵ 驻点唯一 ∴
解法二、曲面在任一点的切平面法矢量
平面x+y-4z=1的法矢量
当 ∥ 时，即
得： ,
∵ 在 点处切平面平行已知平面
∴ 点 到平面距离最短，


例2、在曲面 位于第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。
∵ 曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为：

即 ， ∴ 四面体体积
故令
由
得：
∵ 驻点唯一
∴ 为所求点。