§7.正定二次型

一.1.二次型正定性的概念

定义11   设有二次型ƒ=x¹Ax，若对任何x≠0，都有ƒ>0，则称ƒ为正定二次型，并称对称矩阵A是正定矩阵，记为A>0；对任何x≠0，都有ƒ<0，则称ƒ为负定二次型，并称对称矩阵A是负定矩阵，记为A＜0。

2.二次型正定性的判定

定理12   实二次型ƒ=x¹Ax为正定二次型的充分必要条件是它的标准形的n个系数全为正数。

推论  对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全为正数。

定理13  对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的各阶顺序主子式全大于零，即

对称矩阵A为负定矩阵的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式全小于零，而偶数阶的顺序主子式全大于零，

正定矩阵一定是可逆矩阵

3.正定二次型的几何意义

1）二维正定二次型ƒ（x，y）=c（c＞0为常数）是以原点为中心的椭圆。

   当c为任意常数时，ƒ是一族椭圆，当c=0时，这些椭圆收缩到原点。

2）三维正定二次型ƒ（x，y，z）=c（c＞0)是一族椭球。